【导数的运算法则】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握导数的运算法则，有助于我们更高效地求解复杂函数的导数。以下是对常见导数运算法则的总结，结合具体例子说明其应用方式。
一、导数的基本运算法则
| 法则名称 | 公式表示 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ [c \cdot f(x)]' = c \cdot f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以函数的导数 |
| 加减法法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ | 函数和差的导数等于各自导数的和差 |
| 乘法法则（莱布尼茨法则） | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数 |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数等于分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数等于外层函数导数乘以内层函数导数 |
二、常见函数的导数公式
| 函数形式 | 导数公式 |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
三、使用示例
例1： 求函数 $ y = 3x^2 + 5x - 7 $ 的导数
解：根据加减法法则和幂函数导数公式，
$ y' = 3 \cdot 2x + 5 \cdot 1 - 0 = 6x + 5 $
例2： 求函数 $ y = (x^2 + 1)(x - 3) $ 的导数
解：使用乘法法则，
$ y' = (2x)(x - 3) + (x^2 + 1)(1) = 2x^2 - 6x + x^2 + 1 = 3x^2 - 6x + 1 $
例3： 求函数 $ y = \frac{\sin x}{x} $ 的导数
解：使用商法则，
$ y' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2} $
四、小结
导数的运算法则是微积分学习中的基础内容，熟练掌握这些规则能够帮助我们快速计算各种函数的导数。通过合理运用加减乘除法则、链式法则以及基本函数的导数公式，可以解决大部分初等函数的求导问题。在实际应用中，建议多做练习，逐步提高对导数运算的熟练度和准确性。
