【数学期望公式】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中平均结果的数值。它反映了随机变量的“中心位置”，是进行风险评估、决策分析和预测模型构建的基础工具之一。
一、数学期望的基本概念
数学期望（Expected Value），记作 $ E(X) $ 或 $ \mu $，是对随机变量 $ X $ 的一种加权平均值，权重为对应的概率。数学期望可以用于离散型随机变量和连续型随机变量。
二、数学期望的计算公式
1. 离散型随机变量的数学期望
设随机变量 $ X $ 可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量的数学期望
设随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，定义域为 $ [a, b] $，则其数学期望为：
$$
E(X) = \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、数学期望的性质
| 性质 | 内容 |
| 1 | $ E(C) = C $，其中 $ C $ 是常数 |
| 2 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $，其中 $ a $、$ b $ 为常数 |
| 3 | 若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则 $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ |
| 4 | 若 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，则 $ E(XY) = E(X) \cdot E(Y) $ |
四、常见分布的数学期望
| 分布类型 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 |
| 两点分布（Bernoulli） | $ P(X = 1) = p $, $ P(X = 0) = 1 - p $ | $ p $ |
| 二项分布（Binomial） | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布（Poisson） | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布（Uniform） | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布（Normal） | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布（Exponential） | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $，$ x > 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
五、数学期望的应用场景
- 金融投资：用于评估投资组合的预期收益。
- 保险精算：计算保单的预期赔付金额。
- 游戏设计：判断游戏是否公平或盈利。
- 机器学习：用于模型的预测误差分析。
- 统计推断：作为参数估计的基础。
六、总结
数学期望是概率论中一个核心概念，能够帮助我们理解和预测随机事件的平均表现。无论是理论研究还是实际应用，掌握数学期望的计算方法和性质都具有重要意义。通过不同的分布形式，我们可以更准确地描述各种随机现象，并据此做出科学合理的决策。
如需进一步了解方差、协方差等与期望相关的概念，可继续深入学习概率统计的相关知识。
