【高数求导公式大全】在高等数学中，求导是微积分的重要内容之一，掌握常见的求导公式对于解题和理解函数的变化规律具有重要意义。本文将对常见的高数求导公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、反三角函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数公式 | ||
| $ y = \arcsin x $ | $ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arccos x $ | $ y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ y = \arctan x $ | $ y' = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arccot} \, x $ | $ y' = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ y = \text{arcsec} \, x $ | $ y' = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ y = \text{arccsc} \, x $ | $ y' = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
三、导数运算法则
| 法则名称 | 公式表达 |
| 常数倍法则 | $ (Cu)' = Cu' $ |
| 加减法法则 | $ (u \pm v)' = u' \pm v' $ |
| 乘法法则 | $ (uv)' = u'v + uv' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $（$ v \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
四、高阶导数简介
高阶导数指的是对一个函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ y' $
- 二阶导数：$ y'' $
- 三阶导数：$ y''' $
某些函数的高阶导数存在规律性，如：
- $ y = e^x $ 的任意阶导数仍为 $ e^x $
- $ y = \sin x $ 的四阶导数回到原函数：$ y^{(4)} = \sin x $
五、隐函数求导
当函数无法显式表示时，可使用隐函数求导法。例如：
若 $ F(x, y) = 0 $，则有：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
六、参数方程求导
设 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
总结
高数中的求导公式种类繁多，涵盖了基本初等函数、反三角函数、导数运算法则以及高阶导数等内容。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。建议在学习过程中结合实例练习，逐步形成系统的知识体系。
