【分部积分怎么算】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解两个函数相乘的积分。它的原理来源于乘积法则的反向应用，适用于无法直接通过基本积分公式求解的情况。本文将总结分部积分的基本方法，并通过表格形式帮助读者更清晰地理解和应用。
一、分部积分的基本原理
分部积分法的公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
其中：
- $u$ 是一个可微函数，
- $dv$ 是另一个函数的微分，
- $du$ 是 $u$ 的微分，
- $v$ 是 $dv$ 的原函数。
二、分部积分的应用步骤
1. 选择 $u$ 和 $dv$
根据被积函数的形式，合理选择哪个部分作为 $u$，哪个部分作为 $dv$。通常遵循“LIATE”原则（Logarithmic, Inverse trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential），优先将较难积分的部分设为 $u$。
2. 计算 $du$ 和 $v$
对 $u$ 求导得到 $du$，对 $dv$ 积分得到 $v$。
3. 代入公式进行计算
将 $u$、$v$、$du$ 代入公式，计算新的积分 $\int v \, du$。
4. 检查是否需要再次使用分部积分
如果新积分仍然复杂，可能需要重复上述步骤。
三、分部积分常见类型与示例
| 类型 | 被积函数 | 选择 $u$ | 选择 $dv$ | 计算过程 | 结果 |
| 1 | $x e^x$ | $x$ | $e^x dx$ | $u=x, du=dx; v=e^x$ | $x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$ |
| 2 | $x \sin x$ | $x$ | $\sin x dx$ | $u=x, du=dx; v=-\cos x$ | $-x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$ |
| 3 | $\ln x$ | $\ln x$ | $dx$ | $u=\ln x, du=\frac{1}{x}dx; v=x$ | $x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C$ |
| 4 | $e^x \sin x$ | $e^x$ | $\sin x dx$ | $u=e^x, du=e^x dx; v=-\cos x$ | $-e^x \cos x + \int e^x \cos x dx$（需再用一次分部积分） |
四、注意事项
- 分部积分不是万能的，有时可能会使问题变得更复杂。
- 在某些情况下，可能需要多次应用分部积分。
- 熟练掌握基本函数的积分和导数是关键。
- 适当使用“LIATE”原则有助于提高效率。
五、总结
分部积分法是处理乘积形式积分的重要工具，尤其在面对无法直接积分的函数时非常有效。通过合理选择 $u$ 和 $dv$，并按照公式逐步计算，可以解决许多复杂的积分问题。掌握这一方法不仅有助于提升积分能力，还能增强对微积分整体结构的理解。
如需进一步练习，建议多做不同类型的分部积分题目，以巩固理解并提高熟练度。
