【向量计算公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，它不仅具有大小，还具有方向。向量的运算广泛应用于力学、工程、计算机图形学等多个领域。为了更好地理解和应用向量，掌握常见的向量计算公式是必不可少的。
以下是一些常用的向量计算公式及其简要说明，便于快速查阅和使用。
一、向量的基本概念
- 向量：一个既有大小又有方向的量，通常用箭头表示。
- 标量：只有大小没有方向的量。
- 向量的表示：可以用坐标形式（如 $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $）或几何形式表示。
二、向量的运算公式总结
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||
| 向量加法 | $ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) $ | 将对应分量相加 | ||
| 向量减法 | $ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3) $ | 将对应分量相减 | ||
| 向量数乘 | $ k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) $ | 数与向量的乘积，改变大小或方向 | ||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} $ | 向量的长度 |
| 单位向量 | $ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | } $ | 方向与原向量相同，大小为1 |
| 点积（数量积） | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ | 结果为标量，反映两向量夹角关系 | ||
| 叉积（向量积） | $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1) $ | 结果为向量，垂直于两向量所在的平面 | ||
| 向量投影 | $ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b} $ | 向量 $ \vec{a} $ 在 $ \vec{b} $ 方向上的投影 |
三、常用性质
- 交换律：$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
- 结合律：$ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) $
- 分配律：$ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $
- 点积对称性：$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $
- 叉积反交换性：$ \vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a}) $
四、应用场景举例
- 物理学：力、速度、加速度等均可用向量表示。
- 计算机图形学：用于物体旋转、缩放、光照计算等。
- 工程力学：分析结构受力、运动轨迹等。
- 机器学习：特征向量、数据表示等。
通过掌握这些基本的向量计算公式，可以更高效地解决实际问题，并为进一步学习高阶数学和相关学科打下坚实基础。
