【原函数公式】在微积分中，原函数是导数的逆运算。给定一个函数 $ f(x) $，如果存在一个函数 $ F(x) $，使得 $ F'(x) = f(x) $，那么 $ F(x) $ 就称为 $ f(x) $ 的一个原函数。原函数的概念在积分学中具有重要作用，尤其是不定积分的求解。
为了帮助读者更清晰地理解不同函数的原函数，以下是对常见函数及其原函数的总结，并以表格形式呈现。
常见函数及其原函数公式
| 函数 $ f(x) $ | 原函数 $ F(x) $ | 说明 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数的积分公式 | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数的原函数 |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数的原函数 | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | 指数函数的一般形式 | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 正弦函数的积分 | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 余弦函数的积分 | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 正切函数的积分 |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 余切函数的积分 |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 正割平方的积分 | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 余割平方的积分 |
注意事项
- 原函数不是唯一的，因为任意常数的导数为零，因此每个原函数都包含一个任意常数 $ C $。
- 在实际应用中，如定积分计算，需要根据初始条件确定具体的常数值。
- 对于某些复杂函数，可能需要使用分部积分、换元法等技巧来求解其原函数。
通过掌握这些基本函数的原函数公式，可以更快地进行积分运算，并为进一步学习微积分打下坚实基础。
