【怎样用分部积分法求积分】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，尤其适用于被积函数为两个函数相乘的情况。其基本思想是将一个复杂的积分转化为更容易计算的积分形式。分部积分法源于乘积法则的逆运算，其公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
为了更清晰地掌握这一方法，下面将通过总结和表格的形式，系统地介绍分部积分法的应用步骤、适用条件以及常见类型。
一、分部积分法的基本步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 选择被积函数 $ f(x) $ 为两个函数的乘积，即 $ f(x) = u(x) \cdot v'(x) $。 |
| 2 | 从 $ f(x) $ 中选择一个部分作为 $ u $，另一个部分作为 $ dv $。通常选择容易求导的函数作为 $ u $，容易积分的函数作为 $ dv $。 |
| 3 | 对 $ u $ 求导得到 $ du $，对 $ dv $ 积分得到 $ v $。 |
| 4 | 代入公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ 进行计算。 |
| 5 | 若新积分仍较复杂，可能需要重复使用分部积分法。 |
二、适用条件与技巧
| 类型 | 适用情况 | 技巧 |
| 多项式 × 指数函数 | 如 $ x^n e^x $ | 令多项式为 $ u $，指数函数为 $ dv $ |
| 多项式 × 三角函数 | 如 $ x^n \sin x $ 或 $ x^n \cos x $ | 同样选择多项式为 $ u $，三角函数为 $ dv $ |
| 对数函数 × 多项式 | 如 $ \ln x \cdot x^n $ | 令对数函数为 $ u $，多项式为 $ dv $ |
| 反三角函数 × 多项式 | 如 $ \arctan x \cdot x^n $ | 令反三角函数为 $ u $，多项式为 $ dv $ |
| 指数函数 × 三角函数 | 如 $ e^x \sin x $ 或 $ e^x \cos x $ | 需要多次分部积分，最后通过联立方程求解 |
三、典型例题解析
| 例题 | 解题过程 |
| $ \int x \cos x \, dx $ | 设 $ u = x $, $ dv = \cos x \, dx $ 则 $ du = dx $, $ v = \sin x $ $ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C $ |
| $ \int x^2 e^x \, dx $ | 设 $ u = x^2 $, $ dv = e^x dx $ $ du = 2x dx $, $ v = e^x $ $ \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx $ 再对 $ \int x e^x dx $ 使用分部积分法，最终得：$ x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C $ |
| $ \int \ln x \, dx $ | 设 $ u = \ln x $, $ dv = dx $ $ du = \frac{1}{x} dx $, $ v = x $ $ \int \ln x dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C $ |
四、注意事项
- 分部积分法并非万能，有时会陷入无限循环或无法简化。
- 在选择 $ u $ 和 $ dv $ 时，应尽量让新的积分比原积分更简单。
- 对于某些特殊函数（如 $ e^x \sin x $），可能需要结合代数技巧进行求解。
五、总结
分部积分法是一种非常实用的积分方法，尤其适合处理乘积形式的积分问题。通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，可以将复杂积分转化为更易处理的形式。掌握其基本步骤和适用场景，有助于提高积分运算的效率和准确性。
表格总结：
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 适用类型 | 多项式×指数/三角/对数/反三角函数 |
| 选择原则 | $ u $ 易求导，$ dv $ 易积分 |
| 常见应用 | $ x^n e^x $, $ x^n \sin x $, $ \ln x $, $ \arctan x $ 等 |
| 注意事项 | 避免无限循环，选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ |
通过以上内容的学习与练习，可以逐步掌握分部积分法的核心思想与实际应用技巧。
