【如何求幂级数的收敛域】在数学分析中，幂级数是研究函数展开和逼近的重要工具。求幂级数的收敛域是其研究的核心内容之一。收敛域指的是使得该幂级数在该区间内收敛的所有点的集合。本文将系统地总结如何求解幂级数的收敛域，并通过表格形式进行归纳。

一、基本概念

幂级数的一般形式为：

$$

\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n

$$

其中 $ a_n $ 是系数，$ x_0 $ 是中心点。

二、求幂级数收敛域的方法

1. 确定收敛半径 $ R $：

- 使用比值法或根值法计算收敛半径。

- 比值法：

$$

R = \lim_{n \to \infty} \left \frac{a_n}{a_{n+1}} \right

$$

- 根值法：

$$

R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} a_n^{1/n}}

$$

2. 确定收敛区间：

- 收敛半径 $ R $ 确定后，幂级数在区间 $ (x_0 - R, x_0 + R) $ 内绝对收敛。

- 在端点 $ x_0 \pm R $ 处需要单独检验是否收敛。

3. 端点处的收敛性判断：

- 将 $ x = x_0 + R $ 和 $ x = x_0 - R $ 分别代入原级数，判断是否收敛（条件收敛或发散）。

4. 最终收敛域：

- 根据收敛区间和端点处的收敛情况，写出完整的收敛域。

三、步骤总结（表格）

四、举例说明

例： 求幂级数

$$

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 2)^n}{n}

$$

步骤如下：

1. 计算收敛半径：

用比值法：

$$

R = \lim_{n \to \infty} \left \frac{a_n}{a_{n+1}} \right = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1

$$

2. 收敛区间：

$ (2 - 1, 2 + 1) = (1, 3) $

3. 端点检验：

- 当 $ x = 1 $ 时，级数变为 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} $，这是交错级数，条件收敛；

- 当 $ x = 3 $ 时，级数变为 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $，发散。

4. 收敛域：

$ [1, 3) $

五、注意事项

- 若收敛半径 $ R = 0 $，则仅在 $ x = x_0 $ 处收敛；

- 若 $ R = \infty $，则在整个实数轴上都收敛；

- 在端点处需特别注意收敛类型（绝对/条件/发散）。

六、小结

求幂级数的收敛域是一个系统的过程，包括计算收敛半径、确定收敛区间、检验端点收敛性等步骤。掌握这些方法有助于更深入地理解幂级数的性质及其应用。

表：幂级数收敛域求解流程图